论文摘要：运用物理学的方法和微积分的知识来建立数学模型，借促MATLAB软件，得到结果：在第60秒引擎刚关闭时，火箭的高度为9317.8米，速度为274m/s，加速度为132.7931m/s ；火箭达到最高点的时间为70.2s，高度为14604m.k的值估计为0.4904.

　　论文关键词：火箭升空，牛顿第二定律，软件

　　一、问题重述

　　火箭的质量为300千克（kg），携带900千克燃料并以15kg/s速率燃烧而产生恒定40000牛顿推力。同时受与速度的平方成正比，比例系数为k的空气阻力，在t时间时高度x（t），速度为v（t），取重力加速度g为9.8m/s.

　　二、问题假设

　　1.空气的阻力f与速度平方v成正比，比例系数为k；

　　2.燃料以15千克/秒的速率燃烧，并产生40000牛顿的恒定推力；

　　3.重力加速度g为9.8m/s；

　　4.火箭本身的质量为m，剩下燃料的质量为m；

　　5.火箭运行的高度x（米）与时间t（秒）和速度v（米/秒）对应的关系，x（t）为火箭在时t的高度测有一组数据如下：

　　三、模型求解

　　1.建立模型

　　由物理学可知，在t时刻，火箭和燃料的质量为1200-15t；重力产生的阻力为（1200-15t）×9.8；空气阻力为kv；那么，由牛顿第二定律可得

　　；0

　　t

　　10

　　11

　　12

　　13

　　14

　　15

　　16

　　17

　　18

　　19

　　20

　　x

　　1070

　　1270

　　1480

　　1700

　　1910

　　2140

　　2360

　　2600

　　2830

　　3070

　　3310

　　v

　　190

　　200

　　210

　　216

　　225

　　228

　　231

　　234

　　239

　　240

　　246

　　----------------------------------------------------------------------

　　＊科研项目：安康学院大学生科技创新项目（2009AKXYDXS06）。

　　t>60

　　由，可得到；0（1）

　　t>60（2）

　　（3）

　　2.模型求解

　　当0时，令a=dv/dt.由t和v的对应关系在matlab中编程以及给出的公式

　　t=10:20；

　　v=[190200210216225228231234239240246]；

　　fori=3:10

　　a（i）=（1/12）*（v（i-2）-8*v（i-1）+8*v（i+1）-v（i+2））；

　　end

　　a=[10107.75007.6676.252.52.8334.33332.753.58.5]

　　将a的值代入（3）中，在matlab中可求得k=0.4904.

　　在（1）式中，由，得

　　（4）

　　求解过程，编写m文件如下：

　　---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

　　functionxdot=wf（t，x）

　　xdot=zeros（2，1）

　　xdot（1）=x（2）

　　xdot（2）=[28240+147*t-0.4904*x（2）。^2]/（1200-15*t）

　　在命令窗口中执行：

　　xspan=0:1:60；x0=[00]'；

　　[t，x]=ode45（'wf'，xspan，x0）；

　　plot（t，x）

　　结果为：

　　ans=1.0e+004*

　　----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

　　Columns1through10

　　……

　　Column61

　　1.3807

　　0.0274

　　故在t=60s时，x（t）=1.3807*10，v（t）=0.0274*10m/s.

　　此时关闭引擎，t=60s，火箭推力为0时只受空气阻力与自身重力作用m=300kg，所以

　　加速度。

　　火箭关闭引擎后（t>60）

　　，转化为

　　设，得微分方程组

　　，（5）

　　求解过程，编写m文件如下：

　　----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

　　functionact=wf（t，y）

　　act=zeros（2，1）；

　　act（1）=y（2）；

　　act（2）=-[0.4904*y（2）。^2/300+9.8]

　　在命令窗口中执行：

　　vspan=60:0.2:74；

　　[t，y]=act（‘wf’，vspan，[13807274]）；

　　输出的结果：

　　ans=1.0e+004*

　　---------------------------------------------------------------------------------------Columns1through10

　　……

　　1.4604

　　0.0000

　　由输出的结果可知道：当t=70.2时，y（1）=14604，y（2）=0，即此时的速度v=0m/s；而且此时火箭达到最大高度。

　　所以火箭升到最大高度所花的总时间T=70.2s.关闭引擎后，火箭上升到最大高度H=14604m.至此，问题得到解决。

　　参考文献

　　1 阳明盛、熊西文，MATLAB基础及数学软件。大连：大连理工大学出版社，2003.8.

　　2 夏玮、李朝晖，控制系统仿真与实例详解。北京：人民邮电出版社，2008.10.

　　3 胡祥青，大学物理。北京：北京师范大学出版社，2005.5.